Question

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(－3，0)，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y＝x＋b交折线OAB于点E．

(1)记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

(2)当点E在线段OA上时，且tan∠DEO＝．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标)，代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； 　　(2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化． 　　解答：解：(1)∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(－3，0)，(0，1)， 　　∴B(－3，1)， 　　若直线经过点A(－3，0)时，则b＝， 　　若直线经过点B(－3，1)时，则b＝， 　　若直线经过点C(0，1)时，则b＝1， 　　①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如下图1， 　　此时E(2b，0)， 　　∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b； 　　②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如下图2 　　此时E(－3，b－)，D(2b－2，1)， 　　∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE) 　　＝3－[(2b－2)×1＋×(5－2b)·(－b)＋×3(b－)] 　　＝b－b2， 　　∴S＝； 　　(2)如下图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积． 　　由题意知，DM∥NE，DN∥ME， 　　∴四边形DNEM为平行四边形， 　　根据轴对称知，∠MED＝∠NED， 　　又∠MDE＝∠NED， 　　∴∠MED＝∠MDE， 　　∴MD＝ME， 　　∴平行四边形DNEM为菱形． 　　过点D作DH⊥OA，垂足为H， 　　由题易知，＝，DH＝1， 　　∴HE＝2， 　　设菱形DNEM的边长为a， 　　则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2＝(2－a)2＋12， 　　∴a＝， 　　∴S四边形DNEM＝NE·DH＝． 　　∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为． 　　点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

提示：

一次函数综合题．