Question

如图1，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB、AC与⊙O相交于点E、F．

(1)求证：AE·AB＝AF·AC；

(2)如果将图1中的直线BC向上平移与⊙O相交得图2，或向下平移与⊙O相离得图3，此时，AE·AB＝AF·AC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)因为所证结论为等积式，所以可转化为对应线段成比例，即证相应线段所在的两个三角形相似，通过等量代换即可；(2)类比问题(1)中的解决方式，分析前后变与不变的因素． 　　解：(1)如题图1，连接DE、DF． 　　因为AD是⊙O的直径，所以∠AED＝90°． 　　因为BC切⊙O于点D，所以AD⊥BC，∠ADB＝90°． 　　在Rt△AED和Rt△ADB中，因为∠EAD＝∠DAB，∠AED＝∠ADB，所以Rt△AED∽Rt△ADB． 　　所以＝，即AE·AB＝AD2． 　　同理可证Rt△AFD∽Rt△ADC．所以AF·AC＝AD2．所以AE·AB＝AF·AC． 　　(2)AE·AB＝AF·AC仍然成立． 　　证明：如题图2，连接DE．因为BC在向上平移时始终与AD垂直，设垂足为，则∠AB＝90°． 　　因为AD是⊙O的直径，所以∠AED＝90°． 　　又因为∠AB＝∠EAD，所以Rt△AB∽Rt△AED． 　　所以＝，即AE·AB＝A·AD． 　　同理AF·AC＝A·AD．所以AE·AB＝AF·AC． 　　同理可证，当直线BC向下平移与⊙O相离时，AE·AB＝AF·AC仍然成立． 　　点评：在题目给定的已知量中，有一个或几个量在某一范围内不断地变化，需要探究在这一变化过程中其他相关量的变化情况．解题时要切实把握几何图形在运动过程中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律．