Question

有这样一个题目：“已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．求证：AN＝BM．”

(1)我们可以通过证明________≌________，得到AN＝BM；

(2)如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件，而是让△CBN绕点C旋转成下图的情形，还有“AN＝BM”的结论吗？如果有，请给予证明；

(3)如下图，在原题的各条件不变的情况下，若AN、BM交于点F．连结CF，请用刻度尺度量一下BF、CF、NF的长，不难发现：BF＝CF＋NF．请证明这个结论．

Answer 1

答案：
解析：

证明(1)△ACN≌△MCB． 　　(2)AN＝BM仍成立，由∠ACM＝∠NCB＝， 　　可得∠ACN＝∠MCB，又AC＝CM，CN＝CB， 　　∴△ACN≌△MCB，∴AN＝BM． 　　(3)在BM上取BG＝FN，CB＝CN，BG＝NF，可得△CBG≌△CNF．∴CF＝CG． 　　又∠GCB＝∠FCN，∠MCN＝，∴∠FCG＝，∴△CFG为等边三角形， 　　∴FG＝CF，则BF＝CF＋NF． 　　分析：观察图形在△ACN与△MCB中，AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠NCB＝，则∠ACM＋∠MCN＝∠MCN＋∠NCB，所以∠ACN＝∠MCB，则△ACN≌△MCB，则AN＝BM． 　　同理在图中，也可以用同样的方法证得AN＝BM． 　　在BF上取BG＝FN，再证明△CFG为等边三角形，可以证得BF＝CF＋NF．