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如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥EC,交AB于点F,连接CF.

(1)图中的哪些三角形相似?请证明你的判断;

(2)当矩形ABCD满足什么条件时,图中所有的三角形都两两相似?请说明理由.

 

【答案】

(1)△AEF,△ECF和△DCE两两相似 (2)AD:CD=2:

【解析】

试题分析:(1)两个角相等的三角形,为相似三角形.设FE与CD的延长线交于G,因为E是AD的中点,证明三角形相等,进而证明相似.

(2)矩形的四个角相等,对边相等,根据相似三角形的对应边成比例,求出ED和CD的值,进而求出AD和CD的值.

解:(1)图中△AEF,△ECF和△DCE两两相似.

设FE与CD的延长线交于G,

因为E是AD的中点,CE⊥EF,

所以△AEF≌△DEG,△CEF≌△CEG.

Rt△CEG中ED⊥CG,

所以△CED,△EGD都与△CGE相似.

所以判断△AEF,△ECF和△DCE两两相似为真.

(2)要使图中三角形全部相似,根据(1),只要使△ECF∽△FCB,

但这两个直角三角形有公共斜边,

所以△ECF≌△FCB,

又因为AB与CE不平行,

所以∠2=∠3,但∠2=∠1,

所以∠1=30°.

∴ED:CD=1:

故要使图中三角形全部相似的条件是AD:CD=2:

考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定与性质;矩形的性质.

点评:本题考查了全等三角形的判定和性质定理,矩形的性质定理,相似三角形的判定定理,要熟记这些性质和判定定理可求出解.

 

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