Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x， △PBE的面积为y. ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

Answer 1

（1） ① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC， ∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ， ∴ PE=PD. ； ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， ∵ PB=PE， ∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC， ∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD； （ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD； （2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE. ∵ AP=x，AC=， ② ∴ 当时，y最大值.