Question

已知ABCD是正方形，M是CD的中点，点E在CM上，∠BAE=2∠DAM，求证：AE=AB+CE．

Answer 1

分析：首先取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF，由四边形ABCD是正方形，M是CD的中点，易证得△ABF≌△ADM，又由∠BAE=2∠DAM，即可得AF是∠BAE的角平分线，易得AH=AB，BF=HF，又可证得Rt△CFE≌Rt△HFE，即可得EH=CE，继而可证得AE=AB+CE．

解答：证明：取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠D=∠C=90°，
∵M是CD的中点，
∴BF=DM，
在△ABF和△ADM中，

AB=AD ∠B=∠D BF=DM

，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴∠BAF=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAF=∠HAF，
∵∠AHF=∠B=90°，
∴∠AFB=∠AFH，BF=FH，
∴AB=AH，
∴FH=FC，
∵∠FHE=∠C=90°，
在Rt△CFE和Rt△HFE中，

FH=FC FE=FE

，
∴Rt△CFE≌Rt△HFE（HL），
∴EH=CE，
∴AE=AH+HE=AB+CE．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．