Question

已知抛物线y=-x²-2kx+3k²（k>0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以AB为直径的⊙E交y轴于点D、F （如图1），且DF=4，G是劣弧上的动点（不与点A、D 重合），直线CG交x轴于点P。

（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线CG是⊙E的切线时，求tan∠PCO的值；
（3）当直线CG是⊙E的割线时，作GN⊥AB，垂足为H，交PF于点M，交⊙E于另一点N，设MN=t，GM =u，求u关于t的函数关系式。

Answer 1

解：（1）解方程-x²-2kx+3k²=0，
得x₁=-3k，x₂=k，
由题意知OA=|-3k|=3k，OB=|k|=k，
∵直径AB⊥DF，
∴OD=OF=DF=2，
∵OA.OB=OD.OF，
∴3k.k=2×2，
得k=±（负的舍去），
则所求的抛物线的解析式为y=-x²-；
（2）由（1）可知，AO=，AB=，EG=，OC=3k²=4，
连接EG，
∵CG切⊙E于G，
∴∠PGE=∠POC=90°，
∴ Rt△PGE∽ Rt△POC，
∴
∵∠PGA=∠PBG，∠GPA=∠BPG，
∴△PGA∽△PBG，
∴PG²=PA.PB=PA
PO=PA+AO=PA+，
代入（*）式整理得PA²+-6=0，
解得PA=3-（∴PA>0），
∴tan∠PCO=；
（3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，
∴GN//CF，
∴△PGH∽△PCO，
∴
同理
∴
∵CO=4，OF=2，
∴HM=，
∴GM=3MN，即u=3t（0<t≤）。