Question

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，BC＝m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP＝x，CE＝y．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．

(3)如图2，若m＝4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG＝90°，求BP长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠APB＋∠BAP＝90° 　　∵PE⊥PA，∴∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°，∴∠BAP＝∠CPE 　　在△ABP和△PCE中，∠B＝∠C＝90°，∠BAP＝∠CPE， 　　∴△ABP∽△PCE　2分 　　∴＝，∵BC＝m，BP＝x，∴PC＝m－x 　　∴＝，∴y＝x＋x　4分 　　∴y与x的函数关系式为y＝x2＋x，x的取值范围为0＜x＜m． 　　(2)∵y＝x2＋x＝(x－)2＋ 　　∴当x＝时，y＝　6分 　　∴点E总在县段CD上，∴≤1．∴m≤2，∴0＜m＜2　8分 　　注：写m的取值范围时未交待m＞0不扣分． 　　(3)连接CG，过P作PH⊥AG于H． 　　由翻折可知CG⊥PE，PG＝PC＝4－x，又∵PE⊥PA，∴CG∥PA 　　又∵∠B＝∠BAG＝90°，∴AG∥PC，四边形APCG为平行四边形　9分 　　∴AG＝PC＝4－x 　　∵∠B＝∠BAG＝∠AHP＝90°，∴四边形ABPH为矩形 　　∴AH＝BP＝x，PH＝AB＝2，∴HG＝4－2x　10分 　　在Rt△PHG中，∵PH2＋HG2＝PG2，∴22＋(4－2x)2＝(4－x)2 　　解得x1＝2，x2＝，∴BP＝2或　12分