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    操作与探究：
    在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
    （1）实验操作：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，平移1次后可能到达的点的坐标是（0，2），（1，0）；点P从原点O出发，平移2次后可能到达的点的坐标是（0，4），（1，2），（2，0）；点P从原点O出发，平移3次后可能到达的点的坐标是______；
    （2）观察发现：
    任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数y=-2x+2的图象上；平移2次后在函数y=-2x+4的图象上，…．若点P平移5次后可能到达的点恰好在直线y=3x上，则点P的坐标是______；
    （3）探究运用：
    点P从原点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于30，不超过32，求点Q的坐标．

    【答案】分析：（1）根据平移的规律是：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．所以平移可以连续向上平移，也可以连续向右平移，也可以先向上平移后向右平移（或先向右平移后向上平移）；
    （2）根据正比函数图象上点的坐标特征来填空；
    （3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答．
    解答：解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度，
    ∴当点P平移3次后的坐标是：
    ①当点P连续向上平移3次时，点P的坐标是（0，6）；
    ②当点P先向右平移1次，再向上平移2次时，点P的坐标是（1，4）；
    ③当点P先向右平移2次，再向上平移1次时，点P的坐标是（2，2）；
    ③当点P连续相右平移3次时，点P的坐标是（3，0）．

    （2）∵平移1次后在函数y=-2x+2的图象上；
    平移2次后在函数y=-2x+4的图象上，
    ∴点P平移n次后可能到达的点恰好在直线y=-2x+2n上，
    又∵点P平移5次后可能到达的点恰好在直线y=3x上．
    ∴-2x+2×5=3x，
    解得x=2，
    则y=2×3=6，
    ∴P（2，6）；

    （3）设点Q的坐标为（x，y）．
    由题意，得 ，
     解得 ，
    ∴点Q的坐标为．
    ∵平移的路径长为（x+y），
    ∴30≤≤32．
    ∴22.5≤π≤24．
    ∵点Q的坐标为正整数，
    ∴点Q的坐标为（16，16）．
    故答案是：（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）；（2，6）．
    点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
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    （1）求点E的坐标；
    （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连接PN．设PE=x．△PMN的面积为S．
    ①求S关于x的函数关系式；
    ②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由．若存在，求出面积的最大值；
    （3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）．设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式．

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    （1）求点E的坐标及线段AB的长；
    （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连结PN,设PE=x.△PMN的面积为S.
    ①求S关于x的函数关系式；
    ②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值；

    （3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）.设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′（如图3）;试探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式.

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