Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=$4\sqrt{3}$，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=6．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当t=2时，等边△EFG的边FG恰好经过点C；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=6-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜2，2≤t＜6，6≤t＜8，8≤t＜12四种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=6，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．

解答 解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=6-t，在Rt△CBF中，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠CFB=$\frac{BC}{BF}$，
∴tan60°=$\frac{2\sqrt{3}}{6-t}$，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6-t}$，
∴t=2，
∴当边FG恰好经过点C时，时间为t=4，
（2）如图1，

过点M作MN⊥AB，
①当0≤t＜2时，如图1，
∵tan60°=$\frac{MN}{NE}$=$\frac{4\sqrt{3}}{NE}$=$\sqrt{3}$，
∴NE=4，
∵EB=6+t，NB=6+t-4=2+t，
∴MC=2+t，
∴S=$\frac{1}{2}$（MC+EB）×BC
=$\frac{1}{2}$（2+t+6+t）×4$\sqrt{3}$
=4$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$；
②当2≤t＜6时，如图2，

∵MN=4$\sqrt{3}$，EF=OP=12，
∴GH=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∴$\frac{MK}{EF}=\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=4，
∵EB=6+t，BF=6-t，BQ=$\sqrt{3}$，
∴BQ=$\sqrt{3}$（6-t），CQ=4$\sqrt{3}$-BQ=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$．
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBF
=$\frac{1}{2}$ （MK+EF）×MN-$\frac{1}{2}$BF×BQ=
=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$t ²+6$\sqrt{3}$t+$14\sqrt{3}$；
③如图3，

当6≤t＜8时，
∵MN=4$\sqrt{3}$，EF=12-2（t-6）=24-2t，
∴GH=（24-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（12-t），
∴$\frac{MK}{EF}=\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=16-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$（MK+EF）×MN
=$\frac{1}{2}$（16-2t+24-2t）×4$\sqrt{3}$
=-8$\sqrt{3}$t+80$\sqrt{3}$；
④如图4，

当8≤t＜12时，
∵EF=24-2t，高为：EF×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（24-2t）
S=$\frac{1}{2}$EF×$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（24-2t）²
=$\sqrt{3}$t²-24$\sqrt{3}$t+144$\sqrt{3}$． 
（3）存在，理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°．
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°．
∴AE=HE=6-t或t-6．                                
（Ⅰ）当AH=AO=6时，如图5，

过点E作EM⊥AH于M，则AM=$\frac{1}{2}$AH=3．
在Rt△AME中，cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
即6-t=2$\sqrt{3}$或t-6=2$\sqrt{3}$，t=6-2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）当HA=HO时，如图6，

则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°．
∴EO=2HE=2AE．
又∵AE+EO=6，
∴AE+2AE=6．
∴AE=2．
即6-t=2或t-6=2，
t=4或8．
（Ⅲ）当OH=OA时，如图7，

则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB．
∴点E和O重合，
∴AE=6．
即6-t=6或t-6=6，
t=12（舍去）或t=0．
综上所述，存在5个这样的值，使△AOH是等腰三角形，即：t=6-2$\sqrt{3}$或t=6+2$\sqrt{3}$或t=4或t=8或t=0．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．