Question

如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B，已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧，若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA²+PB²+PM²＞28是否总成立？请说明理由。

Answer 1

解：（1）设，把B（0，4）代入，得，
∴；
（2）∵m，n为正整数，，
∴应该是9的整数，
∴m是3的倍数，
又∵m>3，
∴m=6，9，12...，
当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6，
∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6，
当m≥9时，MB>6，
∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，
∴点M坐标只有一种可能（6，4）；
（3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
则，
∴，
∴当时，有最小值，
∴总是成立。