如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？

解：（1）由抛物线的解析式知，点C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8× $\text{[math]}$ =4，则点B（4，0）．
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，顶点D（1，9）；

（2）设直线CD的解析式为：y=kx+8，

将点D坐标代入上式，得：k=1；
∴直线CD：y=x+8，点E（-8，0）．
∴OC=OE=8，∠CEB=45°．
在四边形EMPN中（如右图），∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME、∠PNO都是直角），
①当∠OPM=75°时，∠OPN=135°-75°=60°；
在Rt△OPN中，ON= $\text{[math]}$ OB=2，PN= $\text{[math]}$ ；
②当∠OPQ=75°时，∠OPN=135°+75°-180°=30°，
在Rt△OPN中，ON= $\text{[math]}$ OB=2，PN=2 $\text{[math]}$ ；

综上，存在符合条件的P点，且坐标为（2， $\text{[math]}$ ）或（2，2 $\text{[math]}$ ）；

（3）由（2）的直线CD解析式，可得：E（-8，0），F（4，12）．
设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+9+m；
当x=-8时，y=m-72，
当x=4时，y=m，
∴m-72≤0 或 m≤12，
∴0＜m≤72，
∴抛物线最多向上平移72个单位．
分析：（1）易知点C的坐标，那么在Rt△BOC中，根据tan∠ABC的值即可得到点B的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，通过对解析式进行配方能得到顶点D的坐标；
（2）首先确定直线CD的解析式以及点E的坐标，易得出△EOC是等腰直角三角形的结论，那么在四边形ENPM（以解答图为参考）中，根据四边形内角和可以求出∠OPN的度数，那么PN的长就可以在Rt△OPN中求出，以此求得点P的坐标；
（3）若抛物线向上平移，首先表示出平移后的函数解析式；当x=-8时（与点E横坐标相同），求出新函数的函数值，若抛物线与线段EF有公共点，那么该函数值应不大于点E的纵坐标．当x=4时（与点F的横坐标相同），方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位．
点评：本题考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、四边形的内角和、解直角三角形等综合知识．最后一个小题要结合图形来进行解答，若题目没有明确“向上平移”，该题就需要进行分类讨论，要注意解题方法的总结和拓展．

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如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（

，

），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的

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（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

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（1）求b的值及这个二次函数的关系式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．
（4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

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