Question

已知：如图，⊙O内接正n边形A₁A₂A₃…A_n的边长为a，求同圆外切的正n边形B₁B₂B₃…B_n的边长．

 

Answer 1

答案：
解析：

设A1A2、A2A3是⊙O的内接正n边形相邻的两边，B1B2是圆外切正n边形的一边，A2是切点，则A1A2=A2A3=a．连结OA2、OB2则OA2⊥B1B2，B1A2=B2A2，OB2⊥A2A3，F为垂足，∴　A2F=FA3=A2A3=a． 在Rt△A2OF中，∠A2OF=，sin，∴　OA2=． 在Rt△A2OB2中，A2B2=OA2·tan=，∴　B1B2=．

提示：

由于题中是正n边形，所以先由条件画出图形，但由于边数不一定，故可设出一边．由图形和条件可知，正n边形A1A2A3…An的半径同时也是正n边形B1B2B3…Bn的边心距． 同一个圆的内接正n边形的半径同时也是外切正n边形的边心距．这一关系非常重要，应熟练掌握，因为这点在研究这类问题中起桥梁作用．