Question

如图所示，Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD为中线，PA⊥AD于A，交CB延长线于P点，PA=12，PB=8，求tanC、．

Answer 1

答案：略
解析：

解法一：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD为中线， ∴AD=CD=DB，∴∠CAD=∠C． 又∵PA⊥AD，∠PAD=90°， ∴∠PAB=∠CAD． ∴∠PAB=∠CAD=∠90°－∠BAD， ∴∠C=∠PAB． 又∵∠P=∠P， ∴△APB∽△CPA，AP=12，PB=8， ∴． ∴tanC=，CP=18，BC=10． 设AB=2k，AC=3k，在Rt△ABC中，由勾股定理得， ∴，． ∴tanC=，． 解法二：过A点作AE⊥BC于E， ∵AD为Rt△ABC斜边上中线， ∴AD=CD=BD=x．在Rt△DAP中，由勾股定理，x=5， ∴BC=10，PD=8＋5=13． 在Rt△DAP中，AE⊥PD，由射影定理，DE=， ∴CE=5＋，BE=5－． 在Rt△CAB中， 由射影定理=(5＋)(5－)， ∴AE=， ∴tanC=，．