Question

(2005马尾区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

(1)求OA、OC的长．

(2)求证：DF为的切线；

(3)小明在解答本题时，发现ΔAOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使ΔAOP也是等腰三角形，且点P一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x＋2，依题意得：x(x＋2)=15 解得：． (不合题意，舍去)∴OC=3，OA=5 (2)连结．在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°， ∴ΔOCE≌ΔABE，∴EA=EO，∴∠1=∠2 在中，∵，∴∠1=∠3 ∴∠3=∠2，∴∥AE，∵DF⊥AE，∴ 又∵点D在上，为的半径，∴DF为的切线． (3)不同意．理由如下： ①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于和两点 过点作⊥OA于点H，=OC=3，∵，∴AH=4，∴OH=1，求得点同理可得： ②当OA=OP时，同上可求得： 因此，在直线BC上，除了E点外，既存在内的点，又存在的点、、，它们分别使ΔAOP为等腰三角形．