Question

如图，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC=45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．
（1）求证：四边形HIKJ是平行四边形；
（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

Answer 1

解： （1）∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE  ∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF， 又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ， ∴GI=JE 同理可得HG=EK ，∴HI=JK ∴四边形HIKJ是平行四边形 （2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5 如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F， ∴HG=EK，GI=JE ∴ ∵CE＞BE，∴GI＞ HG， ∴CK＞BJ. ∴当点F在AE上运动时，点K、J 随之在BC上运动，  如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合）， 而且点H、I也分别在AB、AC上 设EF=x，∵∠AHG=∠ABC=45°，AE=5， ∴BE=5=GI，AG=HG=5-2x，CE=-5 ∵△AGI∽△AEC， ∴AG∶AE=GI∶CE. ∴(5-2x)∶5=5∶(-5)  ∴x=1，∴AF=5-x=4 ∴＜AF≤4