Question

求所有满足下列条件的四位数

.

abcd

，

.

abcd

=(

.

ab

+

.

cd

)2，其中数字c可以是0．

Answer 1

分析：首先根据题意设x=

.

ab

，y=

.

cd

，即可将四位数

.

abcd

表示为100x+y=（x+y）²，根据完全平方数与整除的性质求解即可．

解答：解：设x=

.

ab

，y=

.

cd

，
则100x+y=（x+y）²，
故x²+（2y-100）x+（y²-y）=0有整数解，
由于10＜x＜100，故y≠0．
因此△_x=（2y-100）²-4（y²-y）=4（2500-99y）是完全平方数，
可设t²=2500-99y，
故99y=（50-t）（50+t），0≤50-t＜50+t之和为100，
而且其中有11的倍数，只能有50-t=1或50-t=45，
相应得到y=1，25，代入解得

x=98 y=1

，

x=20 y=25

，

x=30 y=25

°
因此

.

abcd

=9801或2025或3025．

点评：此题考查了数字与其数位上数字的关系以及完全平方数的性质．此题难度比较大，解题时要注意题目的要求．