Question

如图，直线AC ∥BD ，联结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①，②，③，④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，联结PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．
  (1) 如图(a) ，当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB= ∠PAC+ ∠PBD
 (2) 当动点P 落在第②部分时，∠APB= ∠PAC+ ∠PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）?  
(3) 当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明

Answer 1

解：(1)过P作直线PQ平行于AC．
因为PQ∥AC，AC∥BD，
所以PQ∥BD，
所以∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ.
又因为∠APQ+∠BPQ=∠APB，
所以∠PAC+∠PBD=∠APB
(2)不成立
(3)当P在BA延长线左侧时，∠APB=∠PAC-∠PBD；
当P在BA延长线上时不成立关系；
当P在BA延长线右侧时，∠APB=∠PBD-∠PAC
证明：当P在BA延长线右侧时，
过P做直线PQ平行于AC，
因为PQ∥AC，AC∥BD，
所以PQ∥BD，
所以∠PAC=∠QPA，
∠PBD=∠BPQ,
∠APB=∠BPQ-∠QPA=∠PBD-∠PAC