Question

已知抛物线的顶点为A（0，1）．
（1）求m的值；
（2）如图1，已知点B（0，2），P是第一象限内抛物线上的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
①求证：PB²=PQ²；（只对PQ＞OB的情况进行证明，对PQ≤OB同理可证）
②如图2，已知点C（1，3），试探究在抛物线上是否存在点M，使得MB+MC取得最小值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵1=×0²+m，
∴m=1；

（2）①证明：
∵P是抛物线上任意一点且P在第一象限，
∴设点P的坐标为（a，a²+1），a＞0，
过B作BN⊥PQ，垂足为N
∴QN=OB=2BN=aPQ=a²+1
∴PN=PQ-QN=a²+1-2=a²-1
∴PB²=BN²+PN²=a²+（a²-1）²=a⁴+a²+1
∵PQ²=（a²+1）²=a⁴+a²+1
∴PB²=PQ²；
②由①知PB=PQ
过M作MN⊥x轴，垂足为N．
∵点M是第一象限内上述抛物线上的点，
∴MB=MN．
过C作CD⊥x轴，垂足为D，交抛物线于M₀，
连接M₀B，
∴M₀B=M₀D．
过M作MH⊥CD，垂足为H．
则四边形MNDH是矩形．
∴MN=DH．
∵CM≥CH，
∴MB+MC=MN+MC=DH+MC≥DH+CH=CD=CM₀+M₀D=M₀C+M₀B
即MB+MC≥M₀B+M₀C．
∴点M₀即为所求的点．
∵点M₀的横坐标为1，
∴M₀（1，）．
分析：（1）将顶点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值．
（2）①可根据抛物线的解析式设出P点坐标（可先设横坐标，根据抛物线的解析式表示纵坐标），然后根据坐标系两点间的距离公式来得出PB的长（也可过B作PQ的垂线，通过构建直角三角形用勾股定理求解，道理一样），而PQ的长即为P点纵坐标，然后比较两者的大小即可．
②本题的关键是找出点M的位置，要利用好①题的结论．过M作MN⊥x轴，垂足为N．根据①的结论可知：MN=MB；因此MB+MC=MN+MC．过C作CD⊥x轴于D，交抛物线于点M0，根据①的结论可知：M₀D=M₀B；
在矩形MNHD中，MN=DH，因此MC+MB=MN+MN=DH+MC，而在直角三角形MHC中，MN≥HC，因此MC+MB=DH+MC≥DH+CH=CD=M₀C+M₀B，由此可得出MC+MB≥M₀C+M0B，那么M₀就是所求的点．因此M₀的横坐标与C点相同，将其代入抛物线的解析式中即可求出M₀的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，在（2）②中，能够利用好①题的结论是解题的关键．