Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图，易证EG＝CG且EG⊥CG．

(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)EG＝CG，EG⊥CG． 　　(2)EG＝CG，EG⊥CG． 　　证明：延长FE交DC延长线于M，连MG． 　　∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， 　　∴四边形BEMC是矩形． 　　∴BE＝CM，∠EMC＝90°， 　　又∵BE＝EF， 　　∴EF＝CM． 　　∵∠EMC＝90°，FG＝DG， 　　∴MG＝FD＝FG． 　　∵BC＝EM，BC＝CD， 　　∴EM＝CD． 　　∵EF＝CM， 　　∴FM＝DM， 　　∴∠F＝45°． 　　又FG＝DG， 　　∠CMG＝∠EMC＝45°， 　　∴∠F＝∠GMC． 　　∴△GFE≌△GMC． 　　∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC． 　　∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG， 　　∴MG⊥FD， 　　∴∠FGE＋∠EGM＝90°， 　　∴∠MGC＋∠EGM＝90°， 　　即∠EGC＝90°， 　　∴EG⊥CG． 　　分析：从图(1)中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在问题(1)、(2)中图中借鉴此解法证明． 　　点评：此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．