Question

如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为边AB上一动点，AF=nBF，E为直线BC上一点，且∠EDF=120°．

（1）如图1，当n=2时，求=_________；
（2）如图2，当n=时，求证：CD=2CE；
（3）如图3，过点D作DM⊥BC于M，当_________，C点为线段EM的中点．

Answer 1

（1）解：过D作DG∥BC交AB于G，如图1， ∵D是AC的中点， ∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACD=∠ABC=60°， ∴∠DCE=120°， 又∵DG∥BC， ∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形， 而∠EDF=120°， ∴∠GDF=∠CDE， ∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE=DG：DC， 即CE：DC=FG：DG， 而DG=AG=BG，AF=2BF， 设BF=x，AF=2x， 则AB=3x，AG=x，FG=x﹣x=x， ∴CE：DC=FG：DG=FG：AG=x：x=1：3． 故答案为； （2）证明：过D作DG∥AB交AB于G，如图2， 当n=时，则DG为△ABC的中位线， 同（1）一样可证得△GDF∽△CDE， ∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG， 而AF=BF，设BF=3x，AF=x， 则AB=4x，AG=2x，GF=x， ∴CE：DC=FG：AG=x：2x， ∴CD=2CE； （3）解：过D作DG∥AB交AB于G，如图3， 由前面可得CE：DC=FG：AG； ∵DM⊥BC， ∴∠MDC=30°， ∴MC=DC， 而C点为线段EM的中点， ∴CE=DC， ∴FG=AG， ∴FG=BG，即F为BG的中点，F为AB的四等分点， ∴AF=3BF， 故答案为n=3．