Question

已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x²-3x+1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．

Answer 1

解：∵圆的半径r=c，
根据两直角边a、b分别是一元二次方程x²-3x+1=0的两根，可得
a+b=3，a•b=1，
∴c²=a²+b²=（a+b）²-2a•b=7，
∴Rt△的外接圆的面积为πr²=π×=．
分析：因为三角形ABC是直角三角形，那么它的外接圆应该是以斜边的中点为圆心，斜边的一半为半径的圆．由此可知这个圆的半径r=c，根据两直角边a、b分别是一元二次方程x²-3x+1=0的两根，可得出c²=a²+b²=（a+b）²-2a•b=13，进而可求Rt△的外接圆的面积．
点评：此题主要考查了直角三角形外切圆直径和内切圆半径的求法，涉及到一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用，难度不大．