Question

已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为(1，0)，OC=3·BO。
 （1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）抛物线的解析式为； （2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N           在中，令y=0，得方程                     解这个方程，得         ∴A（4，0）设直线AC的解析式为y=kx+b          解这个方程组，得                    ∵                                       设，                  当x=-2时，DM有最大值3          此时四边形ABCD面积有最大值 （3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，            此时四边形ACP1E1为平行四边形，           ∵C(0，-3)    ∴设P1（x，-3）          ∴          解得           ∴        ②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，              当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，              ∵C(0，-3)       ∴设P（x，3），              ∴  ∴         解得或            综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是