Question

已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数y＝x²＋bx＋c图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D的坐标为(1，0)

(1)求二次函数的解析式；

(2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵由题意知：当x＝0时，y＝1，∴B(0，1)　　1分 　　由点的坐标为当x＝1时，y＝0 　　∴解得　　3分 　　所以　　4分 　　(2)存在；设P(a，0)， 　　①P为直角顶点时，如图，过C作CF⊥x轴于F，∵Rt△BOP∽Rt△PFC， 　　由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE， 　　∴．即　　5分 　　整理得：a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3， 　　此时所求P点坐标为(1，0)或(3，0)　　7分 　　②若B为直角顶点，则有PB2＋BC2＝PC2 　　既有12＋a2＋42＋22＝32＋(4－a)2 　　解得a＝0.5此时所求P点坐标为(0.5，0)　　8分 　　③若C为直角顶点，则有PC2＋BC2＝PB2 　　既有32＋(4－a)2＋42＋22＝12＋a2 　　解得a＝5.5此时所求P点坐标为(5.5，0)　　9分 　　综上所述，满足条件的点P有四个，分别是(1，0)(3，0)(0.5，0)(5.5，0)　　10分