Question

设方程mx²-（m-2）x+m-3=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解．

Answer 1

解：当m=0，则2x-3=0，此时方程无整数解；
当m≠0时，△=（m-2）²-4m（m-3）=-3m²+8m+4，
把它看作二次函数，二次项系数为负，方程-3m²+8m+4有解，解为m=，
所以≤m≤时，-3m²+8m+4≥0，
因为m是整数，故只能取1，2，3．
当m=1时，方程x²+x-2=0有解，解为-2和1；
当m=2时，方程2x²-4=0无整数解：
当m=3时，方程3x²-x=0有整数解：0．
所以当m=1时，方程x²+x-2=0有解，整数解为-2和1；当m=3时，方程3x²-x=0有整数解，整数解为0．
分析：先讨论m=0，方程无整数根；再讨论m≠0，首先确定原方程有根，得到m的范围，即△=（m-2）²-4m（m-3）=-3m²+8m+4≥0，利用二次函数的图象可求出m的范围，再根据m为整数，求出整数m，最后一一解方程得到满足条件的整数m．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数解一元二次不等式和一元二次方程的解法．