Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2。
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2， ∵tan∠AHO=2， ∴OH=1， ∵MH⊥x轴， ∴点M的横坐标为1， ∵点M在直线y=2x+2上， ∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）， ∵点M在y=上， ∴k=1×4=4； （2）存在， ∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上， ∴a=4， 即点N的坐标为（4，1）， 过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示），此时PM+PN最小， ∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1）， ∴N1的坐标为（4，﹣1）， 设直线MN1的解析式为y=kx+b， 由解得k=﹣，b=， ∴直线MN1的解析式为， 令y=0，得x=， ∴P点坐标为（，0）。