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    6．已知：如图a、图b，△ABC是等腰直角三角形，BO⊥AC，垂足为点O． 
     (1)在图a中，D是AC边上一点，连接DB，过点A作AM⊥BD，垂足为点M，A交BO于点F，求证：OD =OF; 
     (2)在图b中，若点D在AC的延长线上，AM⊥BD的延长线于点M，交OB的延长线于点F，请根据题意在图b中画出完整的图形，并探究“OD=OF？如果成立，请给出证明．如果不成立，请说明理由．
    (1)证明： ∵△ABC是等腰直角三角形，BO⊥AC，  
    ∴BO=AC =AO，
    ∵BFM+FBM=90°ADB+FBM=90°，
    ∴ADB= BFM.而BFM= AFO，
    ∴AFO=ADB.
    在△AOF与△BOD中，  
       
    ∴△AOF≌△BOD( AAS)，
    即OF= OD.
    (2)解：成立．
    ∵AM⊥OM．
    ∴F+1 =BM= 90°.而F+FAO =90°，FBM= DBO,
    ∴FAO= DBO=FBM，
    ∵△ABC(等腰直角三角形)，BO⊥AC，
    ∴BO= AC =AO．
    在△AOF与△BOD中，
         
    ∴△AOF≌△BOD(ASA)，
    即OF= OD.
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    15、已知：如图，AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，过B点的直线CD分别交⊙O1于C点，交⊙O2于D点，∠BAD的平分线AM交⊙O1于E点，交直线CD于F点，交⊙O2于M点．
    （1）连接DM、CE，请在图中（不添加别的“点”和“线”）找出与△DFM相似的所有三角形，并选择其中一个三角形，证明它与△DFM相似；
    （2）设CD=12，CB=5，DF=4，AF=3FM，求EF的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙Ο1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙Ο1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．
    （1）如图1，求⊙Ο1半径及点E的坐标；
    （2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为CND上两动点（AB∥CD）时，试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学活动课上，甲、乙两位同学在研究一道数学题：“已知：如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=50°，∠E=32°，且BC=EF．试画直线m，l，使直线m将△ABC分成的两个小三角形与直线l将△DEF分成的两个小三角形分别相似，并标出每个小三角形各内角的度数．”
    甲同学是这样做的：如图2，使得两个直角三角形的斜边重合，以斜边中点0为圆心，OB长为半径作出辅助圆，根据到定点的距离等于定长的点在圆上，可知A、B（E）、C（F）、D在⊙0上．设BD所在的直线m与AC所在的直线l交于点G，根据同弧所对的圆周角相等，由∠ABC=50°，∠DEF=32°，易求得∠ABG=DFG=18°，再由∠A=∠D=90°，可求得∠AGB=∠DGF=72°，∠GCB=40°，∠BGC=108°，从而△AGB∽△DGF．△GBC∽△GEF．
    乙同学在甲同学的启发下，利用辅助圆又补充了其它分割方法．
    你看明白甲同学的分割方法了吗？请你仿照甲同学的方法，把这道题其它的所有分割方法补充完整．
    要求：不需写解答过程．如图2所示．利用辅助圆画出示意图，标明直线及每个小三角形各内角的度数即可．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点．

    （1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

    （2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；

    （3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

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    科目：初中数学 来源：2012年北京市房山区中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

    探究问题：
    已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O．
    （1）△ABC为等边三角形，如图1，则AO：OD=______；
    （2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ABC为一般三角形（如图2），（1）中的结论仍成立，请你给予证明．
    （3）运用上述探究的结果，解决下列问题：
    如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，若AD=BE=4．求：△ABC的周长．

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