Question

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l₂经过B，C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l₂从点C向点B移动．点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）由题意，知B（0，6），C（8，0），
设直线l₂的解析式为y=kx+b，则，
解得k=-，b=6，
则l₂的解析式为y=-x+6；

（2）解法一：如图，过P作PD⊥l₂于D，
∵∠PDC=∠BOC=90°，∠DCP=∠OCB
∴△PDC∽△BOC
∴
由题意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC==10，PC=10-t
∴=，
∴PD=（10-t）
∴S_△PCQ=CQ•PD=t•（10-t）=-t²+3t；

解法二：如图，过Q作QD⊥x轴于D，
∵∠QDC=∠BOC=90°，∠QCD=∠BCO
∴△CQD∽△CBO
∴
由题意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC==10
∴
∴QD=t
∴S_△PCQ=PC•QD=（10-t）•t=-t²+3t；

（3）∵PC=10-t，CQ=t，
要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ，
∴当CP=CQ时，由题10-t=t，得t=5（秒）；
当QC=QP时，=，即=解得t=（秒）；
当PC=PQ时，=，即=，解得t=（秒）；
即t=5或或．
分析：（1）因为l₁过点B，所以代入直线l₁的解析式求得点B的坐标，又因为直线l₂经过B，C两点，所以将点B、C的坐标代入直线y=kx+b，列方程组即可求得；
（2）过Q作QD⊥x轴于D，则△CQD∽△CBO，
∴，由题意，知OA=2，OB=6，OC=8，
∴BC==10，
∴，∴QD=t，即可求得函数解析式；
（3）要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．
点评：此题考查了一次函数与三角形的综合知识，要注意待定系数法的应用，要注意数形结合思想的应用．