Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）DE与⊙O相切，




理由如下：连接OD，BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠EDB，
即∠EDO=∠EBO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切．

（2）∵tanC=

5

2

=

BD

DC

，可设BD=

5

x，CD=2x，




∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²
∴（

5

x）²+（2x）²=16，
解得：x=±

4

3

（负值舍去）
∴BD=

5

x=

4

3

5

，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tanC，
∵tan∠ABD=

AD

BD

=

5

2

，
AD=

5

2

BD=

5

2

×

4 5

3

=

10

3

．
答：AD的长是

10

3

．