Question

如图，已知⊙O的直径BD=6，AE与⊙O相切于E点，过B点作BC⊥AE，垂足为C，连接BE、
DE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若BC=4.5，求图中阴影部分的面积（结果可保留π与根号）．

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理可知：∠EDB=∠CEB，那么∠1和∠2就是等角的余角，因此也相等；
（2）要求阴影部分的面积就要知道，∠DOB的度数和DE的长，求出DE，和BE就是关键所在，根据（1）中的相等角，就可得出三角形BDE和BEC相似，那么可得出关于BC，BE，BD的比例关系式，有BC，BD的长，那么就能求出BE的长，有了BE的长，在直角三角形BED中就能求出DE的长和∠2的度数，也就求出了∠DOE的度数，然后过O作DE的垂线，有DE的长，有BD的长，就能求出O到DE的距离，那么就能根据阴影部分的面积=扇形ODE的面积-三角形ODE的面积求出阴影部分的面积了．

解答：（1）证明：如图，∵AE与⊙O相切于E，
∴∠BEC=∠BDE，
∵∠DEB=90°，
∴∠EBD=90°-∠EDB，
∵BC⊥AE，
∴∠CBE=90°-∠BEC，
∴∠EBC=∠DBE，即∠1=∠2；

（2）解：由（1）可得：∠1=∠2，∠CEB=∠EDB，
∴△EDB∽△CEB，
∴

EB

BC

=

BD

BE

，即BE²=CB•DB．
∵DB=6，BC=4.5，
∴BE=3

3

，
∵cos∠2=

BE

BD

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠2=30°，
连接EO，则∠EOD=60°．
∴△DOE是等边三角形，即DE=DO=3．
过O作OF⊥DE于F，则有OF=

3 3

2

．
∴S_阴影=S_扇形EOD-S_△EOD=

60

360

π•3²-

1

2

×3×

3 3

2

=

3π

2

-

9 3

4

．

点评：本题考查了弦切角定理，圆周角定理以及相似三角形等知识，利用相似三角形来得出线段间的比例关系，从而求出线段的长是本题解题的关键．