Question

如图， 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C（0，-1） ∴ 解得：b=-，c=-1， ∴二次函数的解析式为；
（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2） ∴OD=m， ∴AD=2-m， 由△ADE∽△AOC得，  ∴， ∴DE=， ∴△CDE的面积=×m =， 当m=1时，△CDE的面积最大， ∴点D的坐标为（1，0）；
（3）存在 由（1）知：二次函数的解析式为 设y=0，则 解得：x1=2，x2=-1， ∴点B的坐标为（-1，0） C（0，-1）， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∴ 解得：k=-1，b=-1， ∴直线BC的解析式为：y=-x-1， 在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=2，OC=1， 由勾股定理得：AC=， ∵点B（-1，0），点C（0，-1）， ∴OB=OC，∠BCO=45°， ①当以点C为顶点且PC=AC=时， 设P（k，-k-1） 过点P作PH⊥y轴于H， ∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中，k2+k2= 解得k1=，k2=-， ∴P1（，-），P2（-，）， ②以A为顶点，即AC=AP= 设P（k，-k-1）， 过点P作PG⊥x轴于G， AG=∣2-k∣，GP=∣-k-1∣， 在Rt△APG中，AG2+PG2=AP2 （2-k）2+（-k-1）2=5 解得：k1=1，k2=0（舍） ∴P3（1，-2）， ③以P为顶点，PC=AP， 设P（k，-k-1）， 过点P作PQ⊥y轴于点Q，PL⊥x轴于点L， ∴L（k，0）， ∴△QPC为等腰直角三角形，PQ=CQ=k， 由勾股定理知，CP=PA=k， ∴AL=∣k-2∣，PL=｜-k-1｜， 在Rt△PLA中，（k）2=（k-2）2+（k+1）2 解得：k= ∴P4（，-）， 综上所述： 存在四个点：P1（，-） P2（-，） P3（1， -2） P4（，-）。