Question

如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D．

求证：AB＋BD＝AC．

Answer 1

答案：
解析：

分析：这道题的条件和结论之间的关系不明显，需要进行适当的转化．由∠ABC＝2∠C，可在△ABC的外部构造一等腰三角形，使∠ABC等于某一个角的两倍． 　　证明：延长CB到点E，使BE＝AB，连接AE． 　　所以△BAE为等腰三角形，且∠E＝∠1． 　　因为∠ABD＝∠E＋∠1，所以∠ABD＝2∠E＝2∠1． 　　又因为∠ABD＝2∠C，所以∠C＝∠E＝∠1． 　　所以AE＝AC． 　　因为AD平分∠BAC，所以∠2＝∠3． 　　所以∠ADE＝∠C＋∠3＝∠1＋∠2＝∠EAD． 　　所以AE＝DE＝DB＋BE＝DB＋AB，即AB＋BD＝AC． 　　点评：从以上几例可以看出，巧妙构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，可迅速找到解题途径．但这种方法在思维上有一定的难度，本文旨在帮助同学们开阔视野、拓展解题思路．