Question

如图，已知Rt△ACB，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁；过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂；…，这样一直做下去，得到了一组直角三角形△ACA₁，△A₁CC₁，△A₂C₁A₁…，则△A₂₀₀₈C₂₀₀₈A₂₀₀₉的面积=______．

Answer 1

∵CA₁⊥AB，A₁C₁⊥BC，C₁A₂⊥AB，A₂C₂⊥BC，
∴∠AA₁C=∠A₁C₁C=∠A₁A₂C₁=∠A₂C₂C₁=90°．
∵Rt△ACB，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴A₁A=

1

2

AC，由勾股定理，得A₁C=

3

2

，
同理可以求出：CC₁=

3

4

，A₁C₁=

3

4

，A₁A₂=

3

8

，A₂C₁=

3 3

8

，
∴S△ACA₁=

3

8

=

3

23

，
S△A₁CC₁=

3 3

32

=

3  3

26

=

3  3

23×2

，
S△A₂C₁A₁=

9 3

128

=

32 3

29

=

32 3

23×3

…
∴S△A₂₀₀₈C₂₀₀₈A₂₀₀₉=

32008 3

23×2009

=

32008 3

26027

．
故答案为：

32008 3

26027