Question

已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O
求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC；
（2）当OB=OC时，∠1=∠2．

Answer 1

分析：（1）若∠1=∠2，则OA是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质可得OD=OE；通过证△ODB≌△OEC，即可得出OB=OC的结论．
（2）与（1）的思路正好相反，若OB=OC，可证得△ODB≌△OEC，得OD=OE，根据角平分线的判定定理，即可得出∠1=∠2的结论．

解答：证明：（1）∵∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE．
在△OBD和△OCE中

OD=OE ∠BDO=∠CEO ∠DOB=∠EOC

，
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴OB=OC．

（2）∵OB=OC，∠BOD=∠COE，∠ODB=∠OEC=90°，
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴OD=OE．
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，垂足为D、E，
∴∠1=∠2．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质及判定定理．