Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．

(1)求证：AD为⊙O的切线；

(2)若AC＝2，tan∠ABD＝2，求⊙O的直径．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：如图所示，连接OA． 　　(1)∵BA平分∠CBE， 　　∴∠ABE＝∠ABO， 　　又∵∠ABO＝∠BAO， 　　∴∠BAO＝∠ABD， 　　∵AD⊥BE， 　　∴∠ADB＝90°， 　　∴∠ABD＋∠BAD＝90°， 　　∴∠BAO＋∠BAD＝90°， 　　即∠DAO＝90°， 　　∴AD是⊙O切线； 　　(2)∵BC是直径， 　　∴∠BAC＝90°， 　　又∵∠ABD＝∠ABO，tan∠ABD＝2， 　　∴tan∠ABO＝2， 　　在Rt△ABC中，AB＝＝， 　　∴BC＝＝＝5． 　　点评：本题考查了切线的判定、勾股定理、正切．解题的关键是连接OA，并求出AB． 　　分析：(1)先连接OA，由于BA平分∠CBE，那么∠ABE＝∠ABO，而∠ABO＝∠BAO，易得∠BAO＝∠ABD，结合AD⊥BE，易求∠BAO＋∠BAD＝90°，即∠DAO＝90°，从而可证AD是⊙O切线； 　　(2)由于BC是直径，那么∠BAC＝90°，而∠ABD＝∠ABO，tan∠ABD＝2，易得tan∠ABO＝2，在Rt△ABC中，易求AB，进而可求BC．