Question

如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．

(1)若OC＝5，AB＝8，求tan∠BAC；

(2)若∠DAC＝∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

专题：计算题． 　　分析：(1)根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE＝AB＝4，再根据勾股定理计算出OE＝3，则EC＝2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值； 　　(2)根据垂径定理得到AC弧＝BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC＝2∠BAC，由于∠DAC＝∠BAC，所以∠AOC＝∠BAD，利用∠AOC＋∠OAE＝90°即可得到∠BAD＋∠OAE＝90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线． 　　解答：解：(1)∵半径OC垂直于弦AB， 　　∴AE＝BE＝AB＝4， 　　在Rt△OAE中，OA＝5，AE＝4， 　　∴OE＝＝3， 　　∴EC＝OC－OE＝5－3＝2， 　　在Rt△AEC中，AE＝4，EC＝2， 　　∴tan∠BAC＝＝＝； 　　(2)AD与⊙O相切．理由如下： 　　∵半径OC垂直于弦AB， 　　∵AC弧＝BC弧， 　　∴∠AOC＝2∠BAC， 　　∵∠DAC＝∠BAC， 　　∴∠AOC＝∠BAD， 　　∵∠AOC＋∠OAE＝90°， 　　∴∠BAD＋∠OAE＝90°， 　　∴OA⊥AD， 　　∴AD为⊙O的切线． 　　点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．

提示：

考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理．