Question

如图，平面直角坐标系中，直角梯形OABC的点O在坐标原点B（15，8），C（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，设运动时间为t秒．
（1）在t=3时，M点坐标

（3，8）

，N点坐标

（15，0）

；
（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说出理由．

Answer 1

分析：（1）根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC，然后根据路程=速度×时间求出AM、CN，再求出ON，然后写出点M、N的坐标即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当AM=ON时，四边形OAMN是矩形，然后列出方程求解即可；
（3）先求出四边形MNCB是平行四边形的t值，并求出CN的长度，然后过点B作BC⊥OC于D，得到四边形OABD是矩形，根据矩形的对边相等可得OD=AB，BD=OA，然后求出CD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．

解答：解：（1）∵B（15，8），C（21，0），
∴AB=15，OA=8，
OC=21，
当t=3时，AM=1×3=3，
CN=2×3=6，
∴ON=OC-CN=21-6=15，
∴点M（3，8），N（15，0）；
故答案为：（3，8）；（15，0）；

（2）当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，
∴t=21-2t，
解得t=7秒，
故t=7秒时，四边形OAMN是矩形；

（3）存在t=5秒时，四边形MNCB能否为菱形．
理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM=CN，
∴15-t=2t，
解得t=5秒，
此时CN=5×2=10，
过点B作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
∴OD=AB=15，BD=OA=8，
CD=OC-OD=21-15=6，
在Rt△BCD中，BC=

BD2+CD2

=

82+62

=10，
∴BC=CN，
∴平行四边形MNCB是菱形，
故，存在t=5秒时，四边形MNCB能否为菱形．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了矩形的性质，平行四边形与菱形的关系，梯形的问题，以及勾股定理，根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键．