Question

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y=-x²+3x的图象与BC交于D、E两点．
（1）求DE的长______；
（2）M是BC上的动点，若OM⊥AM，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：
-x²+3x=2，解得：x₁=1、x₂=2
∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．

（2）如右图；
矩形OABC中，∠OMA=90°，
∴∠CMO=∠MAB=90°-∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，
∴△OCM∽△MBA，有：=
设点M（m，2），则：CM=m，BM=5-m
∴=，解得 m₁=1，m₂=4
∴点M的坐标为（1，2）或（4，2）．

（3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）；
①当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意；
②当DM为平行四边形的边时，OM∥OQ，且OM=OQ；
∵D（1，2）、M（4，2）
∴OQ=DM=3，即 Q（-3，0）或（3，0）；
经验证，点（-3，0）不在抛物线图象上；
点（3，0）在抛物线图象上；
综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）．
分析：（1）通过图示不难看出点D、E的纵坐标为2，代入抛物线的解析式中，线求出这两点的坐标，再求出DE的长．
（2）在矩形OABC中，若OM⊥AM，那么不难看出Rt△OCM∽Rt△BAM，由点M的横坐标表示出CM、BM的长，由相似三角形得到的比例线段即可确定点M的坐标．
（3）D、M都在直线BC上，那么可以分两种情况讨论：
①DM为平行四边形的对角线，那么点Q的纵坐标必为4（此时，点O、Q关于DE的中点对称），显然这个点Q不可能在抛物线的图象上，这种情况不予考虑；
②DM为边；这种情况又可以分为两种：DQ、MO平行且相等；DO、MQ平行且相等．前者的点Q在x轴负半轴上，显然点Q不在抛物线对称轴上，那么只考虑后一种情况：
此时DM与OQ平行且相等，那么点Q在x轴正半轴上，且DM=OQ，可据此先得到点Q的坐标，再代入抛物线中进行验证即可．
点评：此题是二次函数与几何知识的综合考查；主要涉及了矩形的性质、相似三角形与平行四边形的判定和性质．最后一题中，在平行四边形的顶点排序不明确的情况下，一定要进行分类讨论．