Question

如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

(1)△ABC与△FOA相似吗？为什么？

(2)试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△ABC∽△FOA，理由如下： 　　在矩形ABCD中：∠BAC＋∠BCA＝90° 　　∵直线l垂直平分线段AC，∴∠OFC＋∠BCA＝90° 　　∴∠BAC＝∠OFC＝∠OFA 　　又∵∠ABC＝∠FOC＝90°，∴△ABC∽△FOA 　　(2)四边形AFCE为菱形，理由如下： 　　∵AE∥FC，∴△AOE∽△COF 　　则OE：OF＝OA：OC＝1：1，∴OE＝OF 　　∴AC与EF互相垂直平分 　　则四边形AFCE为菱形． 　　考点：矩形，相似三角形，平行线，菱形． 　　分析：(1)△ABC和△FOA易证都是直角三角形，只要再证其一组对角相等，而∠BAC和∠OFC＝∠OFA都与∠BCA互余，从而得证． 　　(2)要证四边形AFCE为菱形，已知直线l垂直平分线段AC，只要再证其互相平分，由△AOE∽△COF可证OE＝OF，从而得证．