Question

设x，y为正实数，且xy=1．当x=

 

时，z=

1

x4

+

1

4y4

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据xy=1，得到y⁴=

1

x4

，代入z=

1

x4

+

1

4y4

，就得到一个关于x和z的式子，把式子的右边化成y=（x-y）²+m的形式，从式子的特点可知当（x-y）²=0时，有最小值m，即可得到答案．

解答：解：∵xy=1，
∴x⁴y⁴=1，
∴y⁴=

1

x4

，
∴z=

1

x4

+

1

4y4

，
=

1

x4

+

1

4

x⁴，
=(

1

x2

-

1

2

x2)2+2•

1

x2

•

1

2

x²，
=(

1

x2

-

1

2

x2)2+1，
∵当(

1

x2

-

1

2

x2)2=0，上式有最小值，最小值是1，
即：

1

x2

-

1

2

x²=0，
解得：x=

4	2

．
故答案为：

4	2

，1．

点评：本题主要考查了二次函数的最值，解此题的关键是把关于z的式子化成y=（x-y）²+m的形式．题型较好，但有一定的难度．