Question

如图所示，AB是⊙O直径，CD切⊙O于D交BA延长线于C点，若CA=1，CD等于半径的倍，求DB的长．

Answer 1

答案：略
解析：

解：连接DA， ∵CD是切线，∴∠CDA=∠B． ∵∠C公用，∴△CDA∽△CBD．∴CA∶CD=DA∶DB． ∵CD是切线，CAB是割线，∴=CA·CB． ∵CD是半径的倍，CA=1，设半径OA=x，则CD=x． ∴，解得x=1，x=－(舍去)． ∴CD=，AB=2．∴DA∶DB=1∶． 设DA=k，则DB=k． ∵AB是直径，∴∠ADB=90°． 由勾股定理，有． ∴k=1，∴DB=．

提示：

从图形上观察可知DB是△CDB的一边，且是⊙O的弦．由已知可知AB是直径，CD是切线，这时可用的知识是直径上的圆周角，切线的性质或弦切角的知识，因为已知CA=1，CD是半径的倍，故需要利用相似形沟通关系，连接DA即可． 此题也有不同的解法，可证∠C=∠B，或△BOD∽△BDC．