（1）证明：∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
在△BME和△CMD中，
，
∴△BME≌△CMD（AAS），
∴CD=BE；
（2）①AB
2+AC
2=2.5BC
2．
②结论仍然成立．
理由如下：∵AM是△ABC的中线，
∴PM=BM=CM=
BC，
∵k=1，
∴AP=PM，
∴AM=2PM=BC，
在Rt△ABM中，AB
2=AM
2+BM
2=BC
2+
BC
2=
BC
2，
在Rt△ACM中，AC
2=AM
2+CM
2=BC
2+
BC
2=
BC
2，
∴AB
2+AC
2=
BC
2+
BC
2=2.5BC
2；
即AB
2+AC
2=2.5BC
2；
③结论：锐角三角形：AB
2+AC
2=
BC
2，
钝角三角形：AB
2+AC
2=
BC
2，
理由如下：设EM=DM=a，则AE=AM+a，AD=AM-a，
在Rt△ABE中，AB
2=AE
2+BE
2=（AM+a）
2+BE
2=AM
2+2AM•a+a
2+BE
2，
在Rt△ACD中，AC
2=AD
2+CD
2=（AM-a）
2+CD
2=AM
2-2AM•a+a
2+CD
2，
∴AB
2+AC
2=2AM
2+（a
2+BE
2）+（a
2+CD
2），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
∴a
2+BE
2=BM
2=
BC
2，a
2+CD
2=CM
2=
BC
2，
∴AB
2+AC
2=2AM
2+
BC
2，
∵
=k，
∴AP=kPM，
∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中线，
∴PM=
BC，
若△ABC是锐角三角形，则AM=AP+PM=kPM+PM=（k+1）PM=
BC，
∴AB
2+AC
2=2×（
BC）
2+
BC
2=
BC
2，
即AB
2+AC
2=
BC
2；
若△ABC是钝角三角形，则AM=PM+AP=PM-kPM=（1-k）PM=
BC，
AB
2+AC
2=2×（
BC）
2+
BC
2=
BC
2，
即AB
2+AC
2=
BC
2．
分析：（1）根据中点的定义可得BM=CM，然后利用“角角边”证明△BME和△CMD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=
BC，然后求出BC=AD，再根据勾股定理列式其解即可；
③设EM=DM=a，表示出AE、AD，然后根据勾股定理列式表示出AB
2、AC
2，再求出AB
2+AC
2，再次利用勾股定理列式求出BE
2+x
2=CD
2+x
2=
BC
2，然后根据勾股比用PM表示出AM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=
BC，然后分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况代入进行计算即可得解．
点评：本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式用AM
2表示出AB
2+AC
2是解题的关键，也是本题的难点．
=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．
，
BC，
BC2=
BC2，
BC2，
BC2，
BC，
BC，
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