Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．

(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；

(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

(3)设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当∠BAO＝45°时，四边形OAPB为正方形 　　OA＝OB＝a·cos45°＝a，∴P点坐标为(a，a) 　　(2)作DE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F， 　　设A点坐标为(m，0)，B点坐标为(0，n) 　　∵∠BAO＋∠DAE＝∠BAO＋∠ABO＝90°∴∠DAE＝∠ABO 　　在△AOB和△DEA中： 　　∴△AOB≌和△DEA(AAS) 　　∴AE＝0，B＝n，DE＝OA＝m， 　　则D点坐标为(m＋n，m) 　　∵点P为BD的中点，且B点坐标为(0，n) 　　∴P点坐标为(，)∴PF＝OF＝∴∠POF＝45°， 　　∴OP平分∠AOB．即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； 　　(3)当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α， 　　则0°≤α＜45° 　　h＝PF＝PA·cosα＝a·cosα 　　∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1 　　∴a＜h≤a 　　考点：正方形性质，特殊角三角函数，全等三角形，直角梯形． 　　分析：(1)根据已知条件，用特殊角三角函数可求． 　　(2)根据已知条件，假设A点坐标为(m，0)，B点坐标为(0，n)并作DE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，用全等三角形等知识求出点D，P，E，F坐标(用m，n表示)，从而证出PF＝OF，进而∠POF＝45°．因此得证． 　　(3)由(2)知∠OPF＝45°，故0°≤∠OPA＜45°，＜cos∠OPA≤1，在Rt△APF中PF＝PA·cos∠OPA，从而得求．