Question

如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α (0°<α<180°)．

(1)求证： BE=DG，且 BE⊥DG；

(2)设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．(直接写出结果，不必说明理由)

Answer 1

 (1) 证法一：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，

∴ ∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE．

∴ 将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°，它们恰好分别与AB、AE重合，即点D与点B重合，点G与点E重合，

∴ DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合，

∴ BE=DG，且BE⊥DG．

证法二：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，

∴ ∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE．

∴ ∠DAB+α=∠GAE+α，∴ ∠DAG=∠BAE．

① 当α≠90°时，由前知 △DAG≌△BAE (S.A.S.)，∴ BE=DG，

且∠ADG=∠ABE．

设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N，又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，

∴∠ABE+∠BMN=90°，

∴∠BND=90°，∴BE⊥DG．

② 当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，显然BE=DG，且BE⊥DG．

(说明：未考虑α=90°的情形不扣分)

(2) S的最大值为，