Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．根据相似三角形的对应边的比相等，即可利用t表示得到BE、CE的长度，C的坐标，然后根据S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC得到函数的解析式．

解答：解：（1）当t=4时，B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：

b=6 4k+b=0

，
解得：

k- 3 2 b=6

，
则直线AB的解析式是：y=-

3

2

x+6；

（2）过C作CE⊥x轴于点E．
∵∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
∴△AOB∽△BEC，
∴

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

，
∴点C的坐标是（t+3，

t

2

）．
S_梯形AOEC=

1

2

OE•（AO+EC）=

1

2

（t+3）（6+

t

2

）=

1

4

t²+

15

4

t+9，
S_△AOB=

1

2

AO•OB=

1

2

×6•t=3t，
S_△BEC=

1

2

BE•CE=

1

2

×3×

t

2

=

3

4

t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=

1

4

t²+

15

4

t+9-3t-

3

4

t
=

1

4

t²+9．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确求得△ABC的面积是关键．