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    如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点分别是的中点，顺次连接．

    （1）猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由；

    （2）当点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；

    （3）如果（2）中，，其它条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．

     


    （1）四边形是菱形．

    （2）成立．

     


    理由：连接．

    ，

    ．

    即．

    又，，

    （SAS）

    ．

    分别是的中点，

    分别是，，，的中位线．

    ，，，．

    ．

    四边形是菱形．

    （3）补全图形，如答图．

     


    判断四边形是正方形．

    理由：连接．

    （2）中已证．

    ．

    ，

    ．

    又．

    ．

    ．

    （2）中已证分别是的中位线，

    ，．

    ．

    又（2）中已证四边形是菱形，

    菱形是正方形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG=PM+PN．
    （1）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
    （2）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）
    （3）观察图①、②、③的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有PM、PN、CG这样的线段，并满足图①或图②的结论，写出相关题设的条件和结论
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
    （1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

    （2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
    （3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•滨湖区一模）如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且AC=6，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为
    3或
    2
    3
    或9或
    34
    3
    3或
    2
    3
    或9或
    34
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源：中华题王　数学　九年级上　(北师大版) 北师大版 题型：013

    给出以下两个定理：

    ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

    ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

    应用上述定理进行如下推理．

    如图直线l是线段MN的垂直平分线．

    ∵点A在直线l上，

    ∴AM＝AN(　　)．

    ∵BM＝BN，

    ∴点B在直线l上(　　)．

    ∵CM≠CN，

    ∴点C不在直线l上．

    这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN这与条件CM≠CN矛盾．

    以上推理中各括号内应注明的理由依次是

    [　　]

    A．②①①

    B．②①②

    C．①②②

    D．①②①

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    科目：初中数学 来源：同步题 题型：单选题

    给出以下两个定理：
    ①线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；
    ②和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
    应用上述定理进行如下推理，如图，直线是线段MN的垂直平分线。
    ∵点A在直线上
    ∴AM=AN（ ）
    ∵BM=BN
    ∴点B在直线上（ ）
    ∵CM≠CN
    ∴点C不在直线上（ ）
    如果点C在直线上，那么CM=CN（ ）
    这与条件CM≠CN矛盾
    以上推理中各括号内应注明的理由依次是
    [     ]
    A.②①①①
    B.②①①②
    C.①②①②
    D.①②②①

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