Question

在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．

(1)求证△ABD为等腰三角形．

(2)求证AC·AF＝DF·FE．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证法一：连CF、BF 　　∠ACD＝∠MCD＝∠CDB＋∠CBD＝∠CFB＋∠CFD＝∠DFB 　　而∠ACD＝∠DFB＝∠DAB又∠ACD＝∠DBA 　　∴∠DAB＝∠DBA 　　∴△ABD为等腰三角形　(4分) 　　证法二： 　　由题意有∠MCD＝∠ACD＝∠DBA，又∠MCD＋∠BCD＝∠DAB＋∠BCD＝180°， 　　∴∠MCD＝∠DAB，∴∠DAB＝∠DBA即△．ABD为等腰三角形　(4分) 　　(2)由(1)知AD＝BD，BC＝AF，则弧AFD＝弧BCD，弧AF＝弧BC， 　　∴弧CD＝弧DF，∴弧CD＝弧DF　①　(5分) 　　又BC＝AF，∴∠BDC＝∠ADF，∠BDC＋∠BDA＝∠ADF＋∠BDA，即∠CDA＝∠BDF， 　　而∠FAE＋∠BAF＝∠BDF＋∠BAF＝180°，∴∠FAE＝∠BDF＝∠CDA， 　　同理∠DCA＝∠AFE　(8分) 　　∴在△CDA与△FDE中，∠CDA＝∠FAE，∠DCA＝∠AFE 　　∴△CDA∽△FAE 　　∴，即CD·EF＝AC·AF，又由①有AC·AF＝DF·EF 　　命题即证　(10分)