Question

如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．

(1)求证：AB·AF＝CB·CD；

(2)已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm(x＞0)，四边形BCDP的面积为y cm²．

①求y关于x的函数关系式；

②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵，，∴DE垂直平分AC， 　　∴，∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF　　1分 　　∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．2分 　　在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B， 　　∴△DCF∽△ABC　　3分 　　∴，即．∴AB·AF＝CB·CD　　4分 　　(2)解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， 　　∴，∴　　5分 　　∴()　　7分 　　②∵BC＝9(定值)，∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由(1)知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小． 　　显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．此时DP＝DE，PB＋PA＝AB　　8分 　　由(1)，，，得△DAF∽△ABC． 　　EF∥BC，得，EF＝． 　　∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10　　10分 　　Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8． 　　∴　　11分 　　∴当时，△PBC的周长最小，此时　　12分