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    如图，在□ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，∠B=120°，E是BC的中点，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CD向终点D运动，同时动点Q从点A出发，以4cm/s的速度沿AB向终点B运动，当它们有一个到达终点时，另一个也随之停止运动，设运动时间为ts．
    （1）当t为何值时，四边形AQPD为平行四边形？
    （2）设DQ2=y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）在运动的过程中是否存在某一时刻，使得△CPE与△DPQ相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先由四边形ABCD是平行四边形可得出CD∥AB，由CD=AB=4cm，E是BC的中点可得出BC的长，欲使四边形AQPD为平行四边形，只要AQ=DP，再用t分别表示出AQ及DP的长，求出t的值即可；
    （2）过点D作DF⊥AB交AB于F，在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义可求出AF、DF的长，在Rt△DFQ中，由勾股定理即可得出y与t的函数关系式，根据AB=4cm，Q点的速度为4cm/s，可求出t的取值范围；
    （3）先由相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△CPE，由于两三角形相似的对应边不能确定，故应分三种情况进行讨论：
    ①当∠A=∠DPQ=60°时，由AB∥CD可知∠PDQ=∠AQD，再根据△ADQ∽△PDQ，AQ=DP可得出4-2t=4t，故可求出t的值；
    ②当∠DQP=∠A=60°时，由∠PDQ=∠AQD，△ADQ∽△PDQ，可知
    DQ
    PD
    =
    AQ
    DQ
    ，故可得出关于t的一元二次方程，求出t的值即可；
    ③当∠PDQ=∠A=60°，由∠PDQ=∠AQD=∠A=60°可知△PDQ为等边三角形，故DP=AQ=AD=2，即4-2t=2，解得t=1，而t=1时，Q已到终点，故不可能．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴CD∥AB，CD=AB=4cm，
    ∵E是BC的中点，BC=2cm，
    ∴欲使AQPD为平行四边形，只要AQ=DP．
    ∵动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CD向终点D运动，同时动点Q从点A出发，以4cm/s的速度沿AB向终点B运动，
    ∴AQ=4t，DP=CD-CP=4-2t，
    ∴4-2t=4t，
    ∴t=
    2
    3
    ；

    （2）如图1，过点D作DF⊥AB交AB于F，
    ∵∠B=120°，AD=2cm，
    ∴∠A=60°，
    在Rt△ADF中，
    AF=ADcos60°=2×0.5=1cm
    DF=ADsin60°=2×
    		3
    2
    =
    		3
    cm
    在Rt△DFQ中，
    DQ2=(
    		3
    )2+(4t-1)2    ，依题意，DQ2=y即y=16t2-8t+4，
    ∵AB=4cm，Q点的速度为4cm/s
    ∴0＜t≤1；

    （3）∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴CD∥AB，CD=AB=4cm，
    ∵AD=BC=2cm，∠A=∠C=60°E为BC的中点，CP=2t，AQ=4t，
    AD
    CE
    =
    AQ
    CP
    =
    1
    2

    ∴△ADQ∽△CPE，
    ①如图2，当∠A=∠DPQ=60°时，
    ∵AB∥CD，
    ∴∠PDQ=∠AQD
    ∵△ADQ∽△PDQ，AQ=DP
    ∴4-2t=4t，
    ∴t=
    2
    3
    ；
    ②如图3，当∠DQP=∠A=60°时，
    ∵∠PDQ=∠AQD，
    DQ
    PD
    =
    AQ
    DQ
    ，
    ∴DQ2=AQ•PD，即16t2-8t+4=4t（4-2t）6t2-6t+1=0，
    t=
    6±
    		36-4×6
    2×6
    =
    3±
    		3
    6
    ，
    t1=
    3+
    		3
    6
    ＜1，t2=
    3-
    		3
    6
    ＜1    ；
    ③如图4，若∠PDQ=∠A=60°，
    ∵∠PDQ=∠AQD=∠A=60°
    ∴△PDQ为等边三角形，
    ∴DP=AQ=AD=2，即4-2t=2，解得t=1，
    而t=1时，Q已到终点，故不可能．
    综上所述，当t=
    2
    3
    秒，t1=
    3+
    		3
    6
    秒或t2=
    3-
    		3
    6
    秒    时，△PDQ∽△CPE．
    点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等相关知识，难度较大．
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