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    问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
    （1）请解决该问题；
    （2）①下面方框中是小明简要的解答过程：

    解得x=．
    所以最终拼接成的圆形桌面的半径为m．
    老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
    ②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？

    【答案】分析：（1）设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，根据∠C=90°，得出O2E=O2C，DC=DE=a，最后根据O2B2=BE2+O2E2，得出（b-EO2）2=（-a）2+O2E2，求出EO2即可，
    （2）①小明的错误是“O1O2=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切即可
    解答：解：（1）如图，设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，
    ∵半圆O2与CD 相切，且∠C=90°，
    ∴O2E=O2C，DC=DE=a．
    在Rt△BEO2中，O2B2=BE2+O2E2，
    ∴（b-EO2）2=（-a）2+O2E2，
    解得EO2=，
    ∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=m；

    （2）①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切，即“O1O2=2x”是错误的，
    ②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切．
    此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD的交点重合．
    所以-a=a，
    解得b=a．
    点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面材料：
    小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
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    小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
    参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
    如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
    （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
    （2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•白下区一模）问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
    （1）请解决该问题；
    （2）①下面方框中是小明简要的解答过程：

    解得x=
    a2+b2
    4b
    ．
    所以最终拼接成的圆形桌面的半径为
    a2+b2
    4b
    m．
    老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
    ②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•昌平区二模）（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
    解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；
    （2）【问题拓展】已知a＞0，b＞0，且a+b=2，写出m=
    		a2+1
    +
    		b2+4
    的最小值；
    （3）【问题延伸】已知a＞0，b＞0，写出以
    		a2+b2
    、
    		a2+4b2
    、
    		4a2+b2
    为边长的三角形的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    作业宝问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
    （1）请解决该问题；
    （2）①下面方框中是小明简要的解答过程：
    作业宝
    解得x=数学公式．
    所以最终拼接成的圆形桌面的半径为数学公式m．
    老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
    ②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？

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